Guia de Ejercicios

Límites

Teorema de Binomio

Inecuaciones

a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [

 b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [

c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [

d) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12 R. ] - ∞ , 21/8 [

e) 1 - x - 5 < 9 + x 9 R. ] -67/10 , + ∞ [

f) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15 R. [ 120/11 , +∞ [

Inecuaciones Cuadraticas

1.- Resuelve las siguientes operaciones y escribe los coeficientes de cada una de las ecuaciones que resultan:

 a) (x + 4)(x – 4) = x – 10

b) (2x – 1)2 – 3(4 – x) = 2 2) Escribe una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 en donde: a) b = 2; c = 0 y a = 7 b) c = 0; a = 1 y b = -9 c) a = 3/2; b = 0 y c= ½

2- Resuelva las siguientes ecuaciones de 2° grado incompletas:

a) 5x2 =0 2) x2 – 9x = 0 3) 9x2 - 25 = 0 4) 3x2 – x = 0

Método del Cementerio

El método del cementerio o método de las cruces, es uno de los métodos para resolver inecuaciones. Éste se resuelve de la siguiente manera:

1. Se factoriza el polinomio 

2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo 

3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado 

4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor 

5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 

6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz 

7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más 

8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados 

9. Si el sentido de la inecuación es "Mayor qué" (>), la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es "Menor qué" (<), la solución será la unión de los intervalos señalados con el signo menos.

A continuación, se les presenta un Video Tutorial para la resolución de éste método. 

Así mismo, se les deja una Guía de Ejercicios con sus respectivas soluciones para que lleven lo aprendido a la práctica.

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebráica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad, Si la desigualdad es de tipo "<" o ">" se denomina "Inecuación en Sentido Estricto" y si es de tipo  "≤" o "≥" se denomina "Inecuación en Sentido Amplio"

Del mismo modo en el que se hace la diferencia de Igualdad (Cuando dos objetos poseen el mismo valor) y Ecuación (Una igualdad Matemática en la que aparecen valores, los conocidos se denominan "Datos", y los desconocidos como "Incógnitas", relacionados mediante operaciones matemáticas), una Ecuación que es válida para todas las variables se llama "Inecuación Incondicional" y las válidas sólo para algunos valores se llaman "Inecuaciones Condicionales". Los valores que verifican la desigualdad son sus soluciones.

 - Ejemplo de una Inecuación Condicional:  . 
 - Ejemplo de una Inecuación Incondicional:  .

Binomio de Newton

-Nùmero combinatorios

En el estudio de las propiedades  de la potencia de un binomio, emplearemos dada su practicidad, la notación de Euler (m/n)

Para representar la ya conocida expresión Cm,n

La expresión (m/n) recibe el nombre de número combinatorios. A pesar de que no se trata de una fracción llamaremos numerador al número M y denominador al número N

Dado que el número combinatorio(m/n) es igual a Cm,n todas las equivalentes y propiedades de este último se pueden aplicar al primero.

Tenemos por lo tanto que la relación:

Esta relación nos permite calcular el valor del número combinatorio cuando conocemos el valor de N.

Ejemplo:

Teorema de binomio

 En efecto cualquier número combinado  de la tabla es igual a la suma del que esta  inmediatamente arriba y el que procede a éste último en la fila a la que pertenece

Por ejemplo

20 =10 + 10; 15 = 5 + 10 ó 15 = 10 + 5; 6 = 3 + 3 etc.

m/n 0 1 2 3 4 5 6

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 4 4 1

5 1 4 5 5 5 1

6 1 4 5 6 6 6 1

Por esta razón, este cuando recibe el nombre de triángulo de Pascal

Examínese, ahora, los desarrollos de la siguiente potencias del binario  a + b, desarrollos que se obtiene fácilmente con la aplicación de productos notables o de multiples sucesivas

(a+b)^ 0 = 1

(a+b)^ 1 = a+b

(a+b)^2= a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab+b^3

(a+b)^4=a^+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Desarrollo de potencias de Binomios

1-      (x+1)^4

X^4+4x^3+6x^2+4x+1

2-      (a-b)^5

A^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4+b^5

Límites de una función

Lim f(x) =L significa  que para todo x->a   E>0, existe un E>0 a tal que para todo x si |x-a|<3 entonces |f(x)-L| <E.

Tabla de valores

1. X	Y = x^3/x-1
   1,25	3,813
   1,1	3,313
   1,01	3,030
   1,001	¿
   1,000	¿
   1,000	¿
   0,999	2,997
   0,99	2,970
   0,9	2,767
   0,75	2,383

Ejemplo:

- Límites Laterales

Las aproximaciones que se realizan para determinar el límite de una función se asocian al concepto de límite lateral.

-"x" tienede a (a) por la izquierda

-"x" tienede a (a) por la derecha

1.  Lim F(x) = L 

       x->a^+

Se lee límite cuando "x2 tiene a (a) por la derecha es"L"

2. Lim F(x) = L

   x->a^-

Se lee límite cuando "x" tiene a (a) por la izquierda es "L"

Comprobar que Lim 1/"(3x-1) = 11/2

L=11/2

De acuerdo con la definición se debe demostrar que pasa todo E>0, existe un &>0. tal que:

Si 0<|x-4|<&, entonces

 [ 1/2 (3x - 1) -11/2 ] < E

 Factor Común 11/2

1/2 (3x-1) - 11 < E

1/2 |3x - 1 - 11| < E

1/2 |3x - 12| < E

|3x - 12| < 2 E

Al pasar 1/2 al otro lado de la desigualdad cambia 

   Factor Común (3)

  3|x-4|<2E

  |x - 4|<2/3E